Solution d'analyse de données

Ajuster un modèle ARIMA dans Excel

20/10/2017

Jeu de données pour ajuster un modèle ARIMA

Un classeur Excel comprenant à la fois les données utilisées dans cet exemple et les résultats obtenus peut être téléchargé en cliquant sur le bouton ci-dessous :
Télécharger les données

Les données proviennent de [Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco], et correspondent au trafic aérien international (en milliers de passagers) de Janvier 1949 à Décembre 1960.

Le but de l'analyse est d'ajuster le modèle sur les données des 11 premières années puis de prédire le trafic de l'année 1960 avec le modèle.
Graphique: Passagers vs Temps

On note sur ce graphique que le nombre de passagers a tendance à augmenter régulièrement, que l'on retrouve chaque année un cycle similaire, mais que les variations à l'intérieur d'une même année sont de plus en plus fortes.

Afin de supprimer l'augmentation des variations intra-annuelles nous prenons le logarithme népérien des données. Nous pouvons vérifier sur le graphique ci-dessous que l'augmentation des variations intra-annuelles est nettement réduite.

Graphique: Log(Passagers) vs Temps

On peut maintenant ajuster un modèle ARIMA(0,1, 1)(0,1,1)12 qui semble approprié pour tenir compte à la fois de la composante tendancielle et de la cyclicité annuelle observées.

Paramétrer un modèle ARIMA

Pour activer la boîte de dialogue des méthodes de lissage, lancez XLSTAT, puis sélectionnez la commande XLSTAT / Time / ARIMA, ou cliquez sur le bouton équivalent de la barre d'outils XLSTAT-Time.

XLSTAT Menu pour Séries temporelles

Une fois le bouton cliqué, la boîte de dialogue des méthodes de lissage apparaît.

Vous pouvez alors sélectionner les données sur la feuille Excel. La Série à analyser correspond à la série étudiée, les données "Log(Passagers)".

On laisse l'option Centrer activée afin de permettre à XLSTAT de centrer automatiquement la série.

Après avoir sélectionner la colonne des données, définissez le type de modèle ARIMA à ajuster en entrant les ordres du modèle (p,d,q)(P,D,Q)s . La période de la série est fixée à 12 car le trafic semble connaître des cycles annuels (12 mois).

L'option Libellés des colonnes est activée car la première ligne de la série comprend le nom de la série.

c

Dans l'onglet validation, nous mettons la valeur 12 car nous voulons que les 12 derniers mois correspondant à l'année 1960 ne soient pas pris en compte pour l'ajustement du modèle, mais que les prévisions soient calculées pour cette période (validation du modèle).

XLSTAT boîte de dialogue Arima-Onglet Validation

Une fois que vous avez cliqué sur le bouton OK, les calculs commencent puis les résultats sont affichés.

Interpréter les résultats d'un modèle ARIMA

Le premier tableau fournit des statistiques simples pour la série sélectionné. Un tableau permettant d'évaluer la qualité du modèle après optimisation est ensuite fourni. Ces différents indices permettent éventuellement de comparer différents modèles entre eux.

Résults-Coefficients d'adjustement

Dans le tableau suivant sont affichés les paramètres du modèle. On note que les paramètres MA(1) et SMA(1) sont significativement différent de 0, leur intervalle de confiance à 95% ne comprenant pas la valeur 0. Les intervalles de confiance sont calculés sur la base de la matrice hessienne après optimization, comme il est proposé par la plupart des logiciels.

Le résultat asymptotique est aussi affiché afin de donner une idée de l'éloignement de la série par rapport à un cas idéal. La constante du modèle est fixée, et est une fonction de la moyenne de la série.

Résults-Paramètres du modèle ArimaLe modèle ARIMA s'écrit alors :

Y(t) = 0.000+Z(t-1)-0.348.Z(t-1)-0.562.Z(t-12)+0.196*Z(t-13) avec Z(t) est un bruit blanc N(0, 0.001) Y(t)=(1-B)(1-B12)X(t), et X(t) est la série de départ.

L'équation permettant de calculer des prévisions pour la série X(t) est : X(t+1) = Y(t+1)+X(t)+X(t-11)-X(t-12)

Après le tableau donnant les valeurs des paramètres du modèle, un tableau fournit les résultats de l'ajustement, avec la série originale et la série correspondant au modèle. En raison de contraintes liées au modèle, nous ne disposons pas de prévisions pour les treize premières valeurs. Elles sont arbitrairement fixées à la valeur de la série observée. Pour les douze dernières observations, les prévisions (Validation) du modèle sont affichées avec un intervalle de confiance.

Prédiction du modèle Arima

Sur le graphique ci-dessous, on peut visuellement confirmer que les prévisions sont bien ajustées aux données.

Graphique Prédiction Arima

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