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静態時系列を得るために差分法を使用する

20/10/2017

差分変換のためのデータセット

データと結果のExcelシートは、こちらからダウンロードできます。

このデータは、[Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco]の中で得られたもので、 1949年1月から1960年12月までの月次の国際線乗客数(1000人単位)です。これは非静態シーズナル時系列として広く使われています。

我々の ゴールは、モデリング・アプローチの前によくある記述分析にどう役立つかを示すことです。

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このチャートから全体的に上昇傾向にあり、毎年同様なサイクルが始まり、また年内の振幅は時間とともに増大していることがわかります。この傾向を確 認するために、この系列の自己相関関数を分析します。

時系列の記述分析のセットアップ

XLSTATを開いて、XLSTATTime記述分析 コマンドを選択するか、Time ツールバー(下図)の対応するボタンをクリックしてください。 

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ボタンをクリックすると、記述分析ダイアログが現れます。Excelシート上のデータを選択してください。時系列は興味対象の系列、 Passengersに 対応します。データを選択した後、"系列ラベル" オプションを有効にします。これは選択されたデータの最初の行に変数のヘッダが含まれるからです。

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オプションタブでは、自動タイムステップを選択します:

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出力タブとチャートタブは下記のようにします:

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"OK"をクリックすると計算が始まります。そして結果が表示されます。

時系列の記述統計の解釈

1番目の表は、統計量の概要を示します。そして、"正規性の検定と白色ノイズ検定" の表が表示されます。Jarque-Bera検定は、歪度係数と尖度係数に基づく正規性検定です。カイ2乗統計量の値が大きいと、データ が正規分布しているよいう帰無仮説がよりふさわしくありません。ここで、帰無仮説が棄却されるときに誤りである確率に対応するp値は0.01に近いです。有意水準alpha=0.05で帰無仮説は棄却されるべきです。

他の3つの検定(Box-Pierce, Ljung-Box, McLeod-Li) が、さまざまなタイム・ラグにおいて計算されます。それらは、データが白色ノイズであると仮定されるかどうかを検定できます。これらのテストは、またカイ 2乗分布に基づきます。それらはすべてデータが白色ノイズプロセスによって生成されたと仮定できないということで一致します。また、データの並べ替えは、 Jarque-Bera検定に影響しませんが、時系列分析にとくに適したほかの3つの検定には影響します。

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表の下に時系列の記述関数を表示します。2つの棒グラフは、自己相関関数(ACF)の進展と偏自己相関関数(PACF)の進展を示します。95%信頼区間も表示されます。自己相関図から、我々は、12ヶ月であるように見える季節性と同時に、明瞭なラグ1自己相関を識別できます。

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時系列の変換

データの正規性を改善するために、我々は2つの変換を実行します:

  1. まず、系列の変動の増大を安定させます、
  2. 次に、系列の差分によって、自己相関を除去します。

時系列の変換のセットアップ

これは時系列変換ツールを使って行えます。対応するダイアログ・ボックスを起動するために、XLSTAT / XLSTAT- Time時系列変換 コマンドを選択するか、"XLSTAT-Time" ツールバー(下図)の対応するボタンをクリックしてください。

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ボタンをクリックすると、ダイアログが現れます。

Excelシート上でデータを選択してください。 興味対象の系列に対応する時系列は、"Passengers"です。データを選択すると、

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オプションタブで、Box-Cox オプションを選択します。

また我々は最適化変換(回帰モデルの尤度 -変換されたY=時間の単線形関数- ができるだけ高くなるようにBox-Cox変換のLambdaパラメータが調整されます)を要求でき、我々はここで、lambda値を系列の対数変換に対 応する0に設定すると決めます。

対数変換は、しばしば変動の増大を除去するのに良い選択です。それから、トレンドと季節性成分を除去するため に、差分法を使うことを決めます。我々は、トレンドを除去するd値を設定し、12ヶ月の季節性成分を除去するために D と s を 1 と12 に設定しました。

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OKをクリックすると計算が始まります。

時系列の変換の結果

我々はまずBox-Cox 変換に対応する表とグラフを見ます。変換された系列が下のグラフで見られます。対数変換が変動の増大を除去したようです。

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次に、表とグラフが差分変換を示します。差分法がトレンドを除去したことがわかりますが、白色ノイズかどうかは明らかではありません。

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変換された時系列での記述統計

変換が系列を白色ノイズ及び正規分布にしたかどうかを確認するために、変換された系列上で記述分析を実行する必要があります。

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欠損値タブでは、オブザベーションを除去オプションを選択します。

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Jarque-Bera検定は、系列がより正規標本のようになったことを確認します(0.01から0.04に跳ね上がりました)。しかし、白色 ノイズの検定では、変換は十分に効果的ではなかったようです。自己相関図は、ラグ 1とラグ 12の成分が今は負の自己相関係数を持っているので、我々がこれを除去しすぎたことを示します。さらにラグ3と9の係数は有意なようです。したがって、潜在的な現象を理解するためにさらなる作業が必要なようです。

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お問合わせは、マインドウエア総研へ。

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