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XLSTATによる単調回帰/MONANOVA法

25/09/2018

単調回帰 / Monanova 法

単調回帰(Monotone regression)とMONANOVA法は、説明変数が量的か質的かの違いだけです。これらの手法は、交互最小2乗法(ALS:alternating least squares)アルゴリズムに基づく、繰り返しアルゴリズムを使用します。これらの原理は簡単で、 通常の線形回帰(OLS)またはANOVAと、(最適スケーリングを調査した後の)従属変数の単調変換の交互な繰り返しからなります。

MONANOVAアルゴリズムは、Kruskal (1965)によって提案されました。単調回帰法とALSアルゴリズム上の作業は、Young ら (1976)によります。

これらの手法は、通常、完全プロファイル・コンジョイント分析の一部として使用されます。XLSTATは、コンジョイント分析内で、これらを適用しますが、独立で実行うすることも可能です。

単調回帰ツール(MONANOVA)は、回帰の結果を改善するために、応答変数の単調変換を線形回帰と組み合わせます。

MONANOVA 法(単調回帰)のためのデータセット

このチュートリアルで使用するデータと結果のExcelシートは、こちらをクリックしてダウンロードできます。

このデータは、Lewis T. および Taylor L.R. (1967). Introduction to Experimental Ecology, New York: Academic Press, Inc.. で得られました。彼らは、性別、年齢(月数)、身長(インチ、1インチ=2.54cm)、体重(ポンド、1ポンド=0.45kg)で記述された237人の児童を検討しました。

このMONANOVA 分析の目的

MONANOVA法を用いて、我々は、性別(fまたはmの値を取る質的変数)、身長、年齢によって、児童の体重がどのように変化するかを 調べ、単調変換がモデルの品質を改善するかどうかを検証しようと思います。

線形モデルとは異なり、通常の最小2乗回帰に従属変数の単調変換を組み合わせます。これは、一般線形モデル(GLM)と予測の品質を改善するための単調変換を交互に行う繰り返しアルゴリズムに基づきます。

MONANOVAのセットアップ

XLSTATを開くと、XLSTAT-CJT/ MONANOVA コマンドを選択するか、XLSTAT-CJTツールバーの対応するボタン(下図)をクリックしてください。

menu-bar-monanova.gif

ボタンをクリックすると、MONANOVA ダイアログ・ボックスが現れます。 Excel シート上でデータを選択してください。 従属変数(またはモデルする変数)は、ここではWeightです。

量的説明変数は、height と ageです。質的変数はgenderです。我々は、変数の列タイトルを選択したので、変数ラベルオプションを有効のままにしておきます。他のオプションは、デフォルト値のままにしました。

monanova-dialog-box-general.gif

OKをクリックすると計算が始まります。そして、結果が表示されます。

MONANOVA 分析の結果の解釈

最初の表は、モデルの適合度係数を表示します。R²(決定係数)は、説明変数によって説明された従属変数の変動の%を示します。 R²が1に近いほど、よりよく適合しています。

monanova-results-goodness-of-fit.gif

この事例では、 Weightの変動の68 % が、Height、Age、 Genderによって説明されています。変動の残りは、この実験の間に測定されなかったか、できなかったいくつかの効果(他の説明変数)に起因します。我々は、いくつかの遺伝的および栄養的効果が関与することを推測できます。

MONANOVA法の一部として、 追加修正検定(additional adjustment tests)の表が表示されます。これらの検定は、モデルのp値の限界を得ることを可能にします。

monanova-results-tests.gif

分散分析表の結果(下図)を検討することが重要です。この結果は、説明変数がモデルに有意な情報(帰無仮説H0)をもたらすかどうかを決定することを可能にします。言い換えると、全体母集団を記述するのに平均が有効であるか、または説明変数によってもたらされる情報に価値があるかないか、を自問する方法です。

monanova-results-variance.gif

Fisherの F検定が使用されます。F値に対応する確率が0.0001より低いなら、帰無仮説(2つの説明変数に効果がない)が間違いであるという仮定に、0.01%より低いリスクがあることを意味します。したがって、3つの変数が有意な情報量をもたらすと結論づけることができます。

以下の表は、モデルの詳細です。この表は、予測が必要なとき、または、ある集団で得られるモデルの係数と、他の集団で得られるそれを比較することが必要なときに役立ちます。Genderパラメータのp値が 0.69で、対応する信頼範囲が0を含むことがわかります。これは、Genderのモデルでの影響度が弱いことを確認します。Gender-fに対応するパラメータに注目すると、 女子であることは、任意の age およびheightで、小さな体重の増加を意味するようです。

monanova-results-coefficients.gif

以下のグラフは、実行された単調変換の分析を提供します。

monanova-chart-transformation.gif

変換が線形変換に近いことがわかります。これは、結果を共分散の線形モデル分析(ANCOVA)の結果と比較することを導き、この分析に関連する結果は、ANCOVAシートにあります。 R² が0.63であることがわかります。 これは、変換されたモデルよりも低いですが、その差はそれほど重要ではありません。

結論として、単調変換の効果の大きさは、モデル予測の品質の上で、たくさんの追加情報を提供しません。説明変数はまだ有意な影響度を持ち、我々は、モデル中に線形の関係があることと言うことができます。

お問合わせは、マインドウエア総研へ。

 

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