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Excelでの非線形回帰チュートリアル

23/01/2019

このチュートリアルは、XLSTATによりExcelで非線形回帰 をセットアップして解釈する方法を説明します。

非線形回帰のためのデータセット

データと結果のExcelシートは、下のボタンをクリックしてダウンロードできます:
データをダウンロード
データは、[Ratkowsky D.A. (1983). Nonlinear Regression Modeling. New York, Marcel Dekker]からの引用です。

このチュートリアルの目的

非線形回帰は、線形回帰では取り扱えない複雑な炎症をモデルするのに使用できます。ここで、我々の目的は、玉ねぎの乾燥質量が成長時間によってどのように変化するかを見ることです。3パラメータ・ロジスティック回帰が適していると直感的に思われる場合は、Ratkowskyによって提案されたモデルはより複雑です。
2 パラメータ・ロジスティック回帰:

3 パラメータ・ロジスティック回帰:

4 パラメータ・ロジスティック回帰:

XLSTATの能力を示すために、XLSTATでは3 パラメータ・ロジスティック回帰が直接利用可能なのですが、ユーザー定義関数を作成してライブラリに追加できることを示します。

Ratkowsky モデルはXLSTATの非線形回帰モデルでは提案されておらず、それは複雑な構造を持っているので、我々は4パラメータのそれぞれに関して関数の導関数を計算しなければなりません。

下の表は、4つの導関数と、XLSTATで課されている規約でのそれらの表記をまとめています (パラメータi には pri 、変数jには Xj を用いるExcelシンタックス)。注意: 導関数が - で始まるなら、Excelがエラーを検出するのを防ぐために、 ' を前につけなければなりません。
数学的な書き方:

XLSTATシンタックス: (pr3/pr4)*exp(-pr1-pr2*X1)/(1+exp(-pr1-pr2*X1))^(1+1/pr4)
数学的な書き方:

XLSTATシンタックス: (pr3*X1/pr4)*exp(-pr1-pr2*X1)/(1+exp(-pr1-pr2*X1))^(1+1/pr4)
数学的な書き方:

XLSTATシンタックス: 1/(1+exp(-pr1-pr2*X1))^(1/pr4)
数学的な書き方:

XLSTATシンタックス: (pr1/pr4^2)*ln(1+exp(-pr1-pr2*X1))/(1+exp(-pr1-pr2*X1))^(1/pr4)
関数が複雑な構造を持つとき、XLSTATに開始点を与えることをお薦めします。我々の事例では、点 [0, 0, 725, 1] が妥当なようです。ここで725 は、従属変数の最大値です。
開始点と導関数は、Excelシートの1つの列に投入されなればならないことに注意してください(デモ・ファイル参照)。

XLSTATによる非線形回帰のセットアップ

XLSTATを開いて、XLSTAT / データ・モデリング / 非線形回帰機能を選択してください。

非線形回帰ダイアログ・ボックスがポップアップします。Excelセシートでデータを選択してください。

従属変数(応答変数ともいう)は、我々の事例では、列Dry weightです。
量的説明変数は、列 Timeです。我々は、 Timeによって Dry Weight の変動を説明しようとしています。


最初の行が列ヘッダを格納するので、我々はオプション変数ラベルを有効のままにします。

オプションタブでは、各パラメータの初期値に対応する開始点を選択します。注意: ここではヘッダを選択してはなりません。

関数タブでは、ビルトイン(内蔵)関数のリストにRatkowskyモデルを追加するために、追加をクリックします(3パラメータ・ロジスティック関数が利用可能であることに気づかれるでしょう)。そして、関数ボックスにモデルを入れることができます: Y =。


前もって計算された4つの導関数が、ワークシートの列 D の1段下にあります。そして、それらの選択は導関数ボックスをチェックして行えます。

ユーザー定義関数のライブラリに我々のモデルを追加して後で再利用するために、保存をクリックします。そして、テンプレートが追加され、自動で選択されます。
[]
OK ボタンをクリックすると計算が始まります。そして、結果が表示されます。

非線形回帰の結果の解釈

最初の表は、従属変数と説明変数の基本統計を提供します。2番目の表(下図)は、 R² (決定係数)および SSE (誤差平方和)を含む適合度係数を表示します。後者は、モデルの最適化に使用される基準です。R² は、説明変数(Time)によって説明される従属変数(dry weight)の変動の%を示します。 R² が1に近いほどより良い適合です。 

我々の事例では、Dry weightの変動の99%がTimeによって説明され、とても良い結果です。
次の表は、モデル・パラメータの詳細な結果を示します。初期値が725だったパラメータ pr3は、適合の結果、699.64に等しいです。標準偏差は、各パラメータで得られた結果の信頼性の知見を与えます。パラメータ pr4 の値が 1に近く、3パラメータ・ロジスティック回帰が事前にプログラムされた関数リストで利用可能なので、簡単にテストでき、ほぼ同じぐらい良い結果を与えるであろうと想像できます。

モデルの式が表示され、Excelで簡単に再利用できます。

次の表(デモのExcelファイルを参照)は、残差分析を示します。モデルはオブザベーション 11 と 14でよく適合していないことがわかります。
最初のチャートは、データと適合された曲線を可視化できます。その他のチャートは、残差を視覚的に分析でき、データの件数が大きいときに便利です。
[IMG08]

結論

結論として、この分析、そして選択されたモデルの文脈では、成長時間が乾燥質量の変動の量を有意に説明します。
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