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Excelでの一元配置分散分析(one-way ANOVA)の後の対比分析

一元配置分散分析(one-way ANOVA)の後で対比分析を実行するデータセット

データと結果のExcelシートは、下記のボタンをクリックしてダウンロードできます: <データをダウンロード>

このデータは、トウモロコシの収穫における4つの処置 (コントロール群, K, N および Pの肥料) の効果を検定する目的の農学実験です。

このチュートリアルの目的

このチュートリアルの目的は、線形モデル(我々の事例ではone-way ANOVA )の実行の後に対比分析を用いて我々が知りたい特定の質問に答えることです。たとえば、1個の肥料でトウモロコシの収穫2また3foldをを有意に増加できるかどうかを知りたいでしょう。また、2つの異なるグループの平均の間の差の有意度を検定したいでしょう(3つの肥料はコントロール群の収穫と比較して収穫を有意に増加させるかどうか?)対比分析を用いると、これらの質問に取り組むことができます。技術的には、対比(contrast)とは、線形モデルの係数の重みつき合計です。我々は、この合計とゼロの間の差を検定します。

少しの予備ステップ

対比の概念と分析の手順を説明する前に、線形モデル(我々の事例では one-way ANOVA)の係数の名前を抽出しておくことを強く推奨します。それらはXLSTATによって提供されます。 それらの名前は、XLSTATの従来の分散分析(ANOVA)で生成される結果のシート内で簡単に見つけられるでしょう。XLSTAT / データ・モデリング / ANOVA コマンド を選択するか、データ・モデリングツールバーの対応するボタンをクリックしてください。 このチュートリアル が、分析を始める助けになるでしょう。 コンフィギュレーション(設定): 従属変数(dependent variable) = Yield; 説明変数(explanatory variable) = Fertilizer.

結果のシートで、モデル・パラメータの表に注目してください。

One way ANOVA model parameters

最初の列(Source) は、XLSTATで定義されたモデルの係数の名前が入っています。2番目の列 (Value) は、説明変数(“Fertilizer” 要因)と従属変数(Yield)を結び付ける下のモデル式を構成する係数値が入っています。デフォルトでは、XLSTATは 、調査された要因の(アルファベット順に)第1水準の平均を参照水準(切片)として使用します。我々のデータでは、この水準は、Controlです。 他の水準の平均と参照水準の平均の偏差が、効果として計算されます。たとえば、P と control の偏差は 26.90です。これは、 危険度アルファ = 0.05 (P-value < 0.0001)でゼロから有意に異なります。

有効な計算の種類が ANOVA コマンド / オプション・タブ / 強制でXLSTATで修正できることに留意してください。 an=0 の強制は、最後の水準(我々の事例ではP)を参照として使用します。sum(ai)=0 の強制は、すべての水準とデータの全体平均の差を計算します。あまり使用されない sum(ni.ai)=0 の強制は、さらにグループ・サイズを考慮に入れることができます。

XLSTAT Anova dialog box

対比分析、概念的アプローチ

概念的に、係数値が有意にゼロと異なるかを検定するために、我々はモデル式の他のすべての係数をゼロに設定して、結果の値をゼロと比較することができます。

たとえば、我々はFertilizerN 係数に興味があるとすれば、モデル式はこのように書けます:

0 x Intercept + 0 x FertilizerC + 0 x FertilizerK + FertilizerN + 0 x FertilizerP (1)

= FertilizerN

= 67.038

この値が、ゼロに対して検定され、我々の事例では有意です (P 値 < 0.0001)。

式 (1) とFertilizerN に 1を掛けたものを考えます:

0 x Intercept + 0 x FertilizerC + 0 x FertilizerK + 1 x FertilizerN + 0 x FertilizerP (1)

**ある検定でのすべての係数と掛ける数字の組み合わせが対比(contrast)**です。ここで、とりあえず我々は我々の対比を Cont1と呼ぶことにして、以下のように書きます:

Cont1: 0 0 0 1 0

FertilizerP 係数と検定する対比は、以下のように定義できます:

Cont2: 0 0 0 0 1

我々は、K-肥料での合計収穫のプロットがゼロと有意に異なるかどうかを検定するための対比を定義できます。したがって、我々は、参照水準(切片)と 肥料 K (FertilizerK 係数)で説明される偏差の合計を計算して、この合計がゼロと有意に異なるかどうかを検定します。 この対比は、以下のように書けます:

Cont3: 1 0 1 0 0

N 肥料の収穫の改善が P 肥料での改善よりも少なくとも2倍重要であるかどうかを知りたいでしょう。問うことができます・これは正値で有意FertilizerN – 2 x FertilizerK の差で表わされます。次の対比がこの差を説明します:

Cont4: 0 0 0 1 -2

さらに、 我々はコントロールの収穫と比較して3つの肥料(K, N,P)による平均の収穫の改善に興味を持つでしょう。この問いは、肥料の偏差間での平均を計算して、その有意度を検定することで取り組むことができます。数学的には、この平均は以下のように書かれます:

(FertilizerK + FertilizerN + FertilizerP)/3 = 0.33 x FertilizerK + 0.33 x FertilizerN + 0.33 x FertilizerP

対応する対比:

Cont5: 0 0 0.33 0.33 0.33

最後に、我々はN の肥料がコントロールの収穫を少なくとも2倍-fold増大させるかどうかを知りたいでしょう。 数学的には、これはNの肥料プロットの平均収穫とコントロール・プロットの平均収穫の2倍の差によって定義された値が、正値で有意であるかどうかを確かめることで検定できます。モデル係数を用いて、これは以下のように説明できます:

Average(N-fertilized plots) – 2 x average(Control plots)

= Intercept + FertilizerN – 2 x (Intercept + FertilizerControl)

= FertilizerN – Intercept

対応する対比:

Cont6: -1 0 0 1 0

XLSTATではどのように実行するか

ANOVA の結果のシートで、係数の名前が入っている列をコピーして、データ・シートに貼り付けてください。このステップは強制ではありませんが、強制の定義を簡単にします。

係数の次の列に必要な対比を(対比ごとに1列で)書いてください。このチュートリアルでは、上記で定義された6つの対比を考えます。

可読性をよくするために、対比の列の上に対比の名前を入れます。

XLSTAT Anova dialog box: enter contrasts

出力 / 対比 タブでオプションを追加して、上記と同じANOVA を設定します:対比を計算のボックスにチェックを入れ、係数は外して列名を入れて対比行列を選択します。OK ボタンをクリックしてください。

対比分析の表が、結果のシートの下部に現れます。

Contrasts analysis table

すべての対比が、対比の式で計算された検定された量に対応する値で定義されます。この量は、標準誤差と 95% 信頼区間の上限と下限に関連づけられます。最後に、この量がゼロと有意に異なるかどうかを検定できるp値に t 統計量が関連づけられます。

以下が、上の段落で我々が問うた質問と、対比分析による答えの要約です:

Cont1: N 肥料とコントロールの偏差がアルファ = 0.05で有意であるか?

答え: はい (P-value < 0.0001).

Cont2: P 肥料とコントールの偏差がアルファ = 0.05で有意であるか?

答え: はい (P-value < 0.0001).

Cont3: K 肥料に関与するプロットの平均収穫はいくらか? この収穫はアルファ = 0.05でゼロと有意に異なるか?

答え: 平均収穫 = 73.938, 有意にゼロと異なる (P-value < 0.0001)。

Cont4: Is the N の収穫は、アルファ= 0.05でP の改善よりも少なくとも2倍重要か?

答え: はい。結果の対比値が正値 (+13.238) でかつ有意である (P-value <0.05)。

Cont5: コントロール収穫と比較して、3つの肥料 (K, N, P) による平均改善はいくらか? この改善はアルファ = 0.05で有意か?

答え: 改善 = 30.958, 有意にゼロと異なる (P-value < 0.0001)。

Cont6: N 肥料は、アルファ= 0.05でコントロール収穫と比較して少なくと2倍合計収穫を増大するか?

答え: N-肥料プロットの収穫とコントロール・プロットの収穫の2倍の偏差は有意でない (P-value > 0.05)。

さらに

対比は、複雑さのことなるいくつかの線形モデル(たとえば 交互作用を伴う多水準ANOVA、ANCOVAなどで定義できます。したがって、量的説明変数を含むモデルでは、 スロープまたはスロープ偏差に対応する係数を取り扱うことができます。

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