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Taille d'échantillon et puissance pour un test de comparaison de corrélations dans Excel

Ce tutoriel explique comment calculer et interpréter une taille d’échantillon et une puissance pour un test de comparaison de corrélations avec Excel en utilisant XLSTAT.

Qu'est-ce que la puissance d'un test statistique ?

XLSTAT propose un test afin de comparer des corrélations. XLSTAT permet également de calculer la puissance ou le nombre d'observations nécessaire pour ce test.

Lorsqu'on teste une hypothèse à l'aide d'un test statistique, on a plusieurs éléments à choisir :

  • L'hypothèse nulle H0 et l'hypothèse alternative Ha

  • Le test statistique à utiliser

  • L'erreur de première espèce (erreur de type I) que l'on appelle aussi alpha. Elle se produit lorsqu'on rejette l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie. Elle est fixée a priori pour chaque test et vaut 5%.

L'erreur de seconde espèce ou beta est moins étudiée mais elle revêt une grande importance. En effet, elle représente la probabilité que l'on ne rejette pas l'hypothèse nulle alors qu'elle est fausse. On ne peut pas la fixer a priori mais, on peut essayer de la minimiser, en jouant sur les autres paramètres du modèle. La puissance d'un test est calculée comme 1-beta et représente la probabilité que l'on rejette l'hypothèse nulle alors qu'elle est bien fausse.

On voudra donc maximiser la puissance du test. XLSTAT permet de calculer cette puissance (ainsi que beta) lorsque les autres paramètres du test sont connus. D'autre part, il permet pour une puissance donnée d'évaluer la taille de l'échantillon nécessaire à l'obtention de cette puissance.

Les calculs de puissance en statistique se font généralement avant que l'expérience ne soit menée. On s'en sert principalement pour estimer le nombre d'observations nécessaire pour que l'expérience ait la qualité statistique requise.

But de ce tutoriel

On souhaite comparer la corrélation taille-poids chez les hommes et chez les femmes. Le but de ce tutoriel va être de trouver la bonne taille d’échantillon afin d’obtenir une puissance de 0.9. Comme nous ne connaissons pas encore les paramètres de nos échantillons, nous allons utiliser le concept de taille de l'effet (effect size). Cohen (1988) a introduit ce concept qui permet de donner un ordre de grandeur pour l'importance de l'effet, c'est-à-dire la différence relative entre les corrélations.

On testera donc 3 tailles d'effets : 0.1 pour un effet faible, 0.3 pour un effet modéré et 0.5 pour un effet fort. Comme la taille de l'effet se base sur la différence entre les corrélations, on s'attend à ce que plus l'effet est fort (donc la différence est grande), plus la taille d'échantillon nécessaire sera petite.

Paramétrer le calcul de la taille de l'échantillon nécessaire pour un test de comparaison de corrélations

Une fois XLSTAT lancé, cliquez sur l'icône Puissance et choisissez la fonction comparer des corrélations.

Calcul de la puissance pour la comparaison de deux corrélations dans le Menu XLSTAT

Une fois le bouton cliqué, la boîte de dialogue apparaît.

Vous devez alors choisir l'objectif Trouver la taille de l'échantillon, et comme test la Test de corrélations pour deux échantillons. On prendra comme hypothèse alternative r1 – r2 <> 0.

L'alpha est de 0.05, la puissance recherchée est de 0.9.

On souhaite avoir des échantillons de même taille, on prend donc un rapport N1/N2 égale à 1.

Comme nous ne connaissons pas les paramètres de nos échantillons, nous utilisons la taille de l’effet, que l’on choisit de mettre à 0.1.

Onglet Général pour le calcul de la puissance pour la comparaison de deux corrélations dans XLSTAT

Dans l'onglet Graphique, l'option graphique de simulation est activée et on représentera la taille de l'échantillon 1 sur l'axe vertical et la puissance sur l'axe horizontal.

La puissance varie entre 0.8 et 0.95 par intervalle de 0.01.

Onglet Graphique pour le calcul de la puissance pour la comparaison de deux corrélations dans XLSTAT

Une fois que vous avez cliqué sur le bouton OK, les calculs sont effectués, puis les résultats sont affichés.

Interpréter les résultats du calcul de la taille de l'échantillon nécessaire pour un test de comparaison de corrélations

Le premier tableau rassemble les résultats du calcul ainsi qu'une interprétation des résultats.

Tableau renvoyé par le calcul de la taille d'échantillon pour la comparaison de deux corrélations dans XLSTAT

On voit qu'il faut 2104 observations pour les deux échantillons afin d’obtenir une puissance la plus proche possible de 0.9.

Le tableau suivant rassemble les calculs obtenus pour chaque valeur de la puissance comprise entre 0.8 et 0.95.

Résultats du calcul de la taille d'échantillon pour la comparaison de deux corrélations dans XLSTAT

Le graphique de simulation montre l'évolution de la taille de l'échantillon en fonction de la puissance. On voit que pour une puissance de 0.8, il suffit d'un peu plus de 1573 observations par échantillon et que pour une puissance de 0.95 on arrive à 2757 observations.

Graphique représentant l'évolution de la taille de l'échantillon en fonction de la puissance dans XLSTAT

Pour des tailles d'effet de 0.3 et 0.5, on obtient les résultats suivants :

Résultats pour une taille d'effet de 0.3 dans Excel

Résultats pour une taille d'effet de 0.5 dans Excel

La taille de l'échantillon va donc baisser car la différence entre les corrélations augmente et on voit que pour une forte différence, 87 observations par échantillon seront suffisantes.

XLSTAT est un outil puissant aussi bien pour rechercher la taille de l'échantillon requise pour une analyse que pour calculer la puissance d'un test. Évidemment, si l'utilisateur dispose de plus d'informations sur ses échantillons, il pourra donner des détails sur les paramètres en entrée, plutôt que de rentrer la taille de l'effet.

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