Stationäre Zeitreihen in Excel - Anleitung

Dieses Tutorium zeigt Ihnen, wie Sie in Excel mithilfe der Software XLSTAT eine Zeitreihe beschreiben und sie so transformieren, dass sie stationär wird.

Datensatz für die Differentiations-Transformation

Unser Ziel ist es, zu zeigen, wie hilfreich eine beschreibende Analyse vor einem Modellierungsansatz sein kann.

Wir stellen einen allgemeinen Aufwärtstrend im Diagramm fest. Jedes Jahr beginnt ein ähnlicher Zyklus, während die Variabilität innerhalb eines Jahres im Laufe der Zeit anscheinend zunimmt. Um diesen Trend zu bestätigen, werden wir die Autokorrelations-Funktion der Reihe analysieren.

Einrichten einer deskriptiven Analyse einer Zeitreihe

Nach dem Öffnen von XLSTAT wählen Sie den Befehl XLSTAT/Zeit/beschreibende Analyse.

Nach dem Klicken des entsprechenden Buttons erscheint das Dialogfenster beschreibende Analyse. Markieren Sie die Daten in dem Excel-Tabellenblatt. Die Zeitreihe entspricht der Reihe von Interesse, den Passagieren. Die Option Beschriftungen der Serien wird aktiviert, da die erste Zeile der ausgewählten Daten den Kopf der Variablen enthält.

In der Registerkarte Optionen werden automatische Zeitschritte ausgewählt:

Die Registerkarten Ausgabe und Diagramme werden wie folgt parametriert:

Die Berechnungen beginnen, sobald sie auf OK geklickt haben. Die Ergebnisse werden dann angezeigt.

Interpretieren der deskriptiven Statistiken einer Zeitreihe

Die erste Tabelle zeigt die zusammenfassende Statistik an. Dann wird die Tabelle Normalitäts- und weißes-Rauschen-Tests angezeigt. Der Jarque-Bera-Test ist ein Test auf Normalverteilung basierend auf den Koeffizienten für Asymmetrie und Kurtosis. Je höher der Wert der Chi-Quadrat-Statistik, desto unwahrscheinlicher ist die Nullhypothese, dass die Daten normal verteilt sind. Hier liegt der p-Wert, der der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass das Ablehnen der Nullhypothese falsch ist, nahe an 0,012. Mit einem Signifikanzniveau von alpha=0,05 sollte man die Nullhypothese ablehnen.

Die drei anderen Tests (Box-Pierce, Ljung-Box, McLeod-Li) werden bei verschiedenen Verzögerungen berechnet. Sie ermöglichen, zu testen, ob angenommen werden kann, dass die Daten ein weißes Rauschen sind oder nicht. Diese Tests basieren auch auf der Chi-Quadrat-Verteilung. Sie sind sich alle einig, dass nicht davon ausgegangen werden kann, dass die Daten durch einen Weißes-Rauschen-Prozess generiert wurden. Während die Sortierung der Daten keinen Einfluss auf den Jarque-Bera-Test hat, hat sie eine Auswirkung auf die drei anderen Tests, die für die Zeitreihenanalyse besonders geeignet ist.

Unterhalb der Tabelle, in der die deskriptiven Funktionen der Zeitreihe angezeigt werden, zeigen zwei Säulendiagramme die Entwicklung der Autokorrelationsfunktion (ACF) und der Partiellen Autokorrelationsfunktion (PACF) an. Die 95 % Konfidenzintervalle werden auch angezeigt. Wenn wir uns das Autokorrelogramm ansehen, können wir eine deutliche Lag-1-Autokorrelation sowie eine Saisonalität, welche bei 12 Monate zu liegen scheint, identifizieren.

Transformation einer Zeitreihe

Zum Verbessern der Normalität der Daten möchten wir zwei Transformationen durchführen:

Zunächst möchten wir die zunehmende Variabilität der Reihe stabilisieren. Als nächstes möchten wir die Autokorrelationen durch Differentiation der Reihe entfernen.

Einrichten einer Transformation einer Zeitreihe

Dies erfolgt durch Verwendung des Tools Zeitreihen Transformation. Um das entsprechende Dialogfenster zu aktivieren, wählen Sie den Befehl XLSTAT/XLSTAT-Zeit/Transformation von Reihen oder klicken Sie auf den entsprechenden Button der Symbolleiste XLSTAT-Zeit (siehe unten).

Sobald Sie auf den Button geklickt haben, erscheint das Dialogfeld.

Markieren Sie die Daten in dem Excel-Tabellenblatt. Die Zeitreihe entspricht der Reihe von Interesse, den Passagieren.

Nachdem Sie diese Daten ausgewählt haben, wählen Sie die Option Box-Cox in der Registerkarte Optionen.

Wir haben die Möglichkeit, nach einer optimierten Transformation zu fragen (der Lambda-Parameter der Cox-Box-Transformation würde so angepasst werden, dass die Wahrscheinlichkeit eines Regressionsmodells - transformiertes Y = einfache lineare Funktion der Zeit - so hoch wie möglich wäre). Jedoch entscheiden wir hier, den Lambda-Wert auf 0 festzulegen, was einer Log-Transformation der Reihe entspricht.

Die Log-Transformation ist oft eine gute Wahl zum Beseitigen einer zunehmenden Variabilität.

Die Berechnungen beginnen, sobald sie auf OK geklickt haben.

Ergebnisse der Transformation einer Zeitreihe

Wir sehen zuerst eine Tabelle und zwei Diagramme: eines für den ursprünglichen Datensatz und das andere für die Box-Cox Transformation. Erwartungsgemäß wurde die zunehmende Variabilität durch die Log-Transformation beseitigt.

Um den Trend und die saisonale Komponente zu entfernen, entscheiden wir uns für die Verwendung der Differentiationsmethode. Wir wählen zuerst die mit Box-Cox transformierten Reihen auf dem neuen Tabellenblatt aus.

Wir legen den Wert d auf 1 fest, um den Trend zu entfernen, und setzen D und s auf 1 und 12, um die saisonale Komponente 12 Monate zu entfernen.

Das resultierende Diagramm zeigt, dass durch die Differentiations-Transformation der Trend effektiv entfernt wurde.

Deskriptive Statistiken zu transformierten Zeitreihen

Wir können jetzt überprüfen, ob die differenzierte Reihe ein weißes Rauschen ist, indem wir unsere beschreibende Analyse noch einmal gemäß der Darstellung in der Abbildung anwenden.

Da die Differentiationsmethode einige fehlende Werte ergab, sollten wir entscheiden, wie wir damit umgehen. In der Registerkarte Fehlende Daten aktivieren wir die Option Entfernen der Beobachtungen.

Der Jarque-Bera-Test bestätigt, dass die Reihe nahe an eine normale Stichprobe herankommt (wir gingen von 0,012 bis 0,027 aus), aber nicht stationär bleibt, was durch die Weißes-Rauschen-Tests bestätigt wurde.

Die Transformationen waren nicht wirksam genug. In der Tat zeigt das Autokorrelogramm, dass eine signifikante Komponente bei Lag 1 und 12 bleibt. Weitere Untersuchungen sind notwendig, um das zugrundeliegende Phänomen zu verstehen.

Saisonale Dekomposition der Reihe

Ein weiterer Ansatz zum Untersuchen unserer Zeitreihe bestünde darin, sie zuerst mithilfe der Option Saisonale Dekomposition des Transformations-Tools in identifizierte Komponenten zu zerlegen. Deshalb beginnen wir wieder mit dem ursprünglichen Datensatz, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Dieses Mal wird die Saisonale Dekomposition in der Registerkarte Optionen ausgewählt. Ein multiplikatives Modell scheint angemessen, da die Zeitreihe ein klares multiplikatives Verhalten auf der natürlichen Skala aufweist. Der Zeitraum wird auf 12 für eine 1-jährige Periodizität für Monatsdaten festgelegt.

Nach der Berechnung wird die Dekomposition über 4 Diagramme angezeigt: die ursprüngliche Reihe, eine Trend-Komponente, eine saisonale Komponente und eine Zufallskomponente. Die letzten 3 Reihen können miteinander multipliziert werden, um die ursprüngliche Reihe zu rekonstruieren.

Die Stationarität der Zufallskomponente kann jetzt getestet werden. Jedoch können wir zuerst diese Zufallskomponente mithilfe der Box-Cox Transformation (Log-Transformation) transformieren, sodass sie den Mittelpunkt 0 hat.

Betrachtung der erhaltenen Reihe, die auf dem Tabellenblatt angezeigt wird.

Die beschreibende Analyse wird erneut auf dieser Reihe gestartet.

Dieses Mal erlaubt der Jarque-Bera-Test nicht das Ablehnen der Hypothese einer normal verteilten Variable.

Leider bleibt ein saisonales Muster, das weniger signifikant ist als zuvor, im Autokorrelogramm-Diagramm sichtbar. Dies würde erneut weitere Arbeit am Generierungsprozess nach sich ziehen.