Kontrastanalysen nach einer One-Way ANOVA in Excel

Dieses Tutorium wird Ihnen helfen, Kontraste nach einer ANOVA (Analysis of Variance) mit einem Faktor in Excel mithilfe der Software XLSTAT einzurichten und zu interpretieren.

Datensatz zum Ausführen einer Vergleichsanalyse mithilfe einer einfaktoriellen Varianzanalyse (ANOVA)

Die Daten stammen aus einem agrarwissenschaftlichen Experiment, das die Wirkung von vier Düngemitteln (Kontrollgruppe, Düngemittel K, N und P) auf Maisfelder untersucht. Jedes Düngemittel wird auf acht unterschiedlichen Feldern angewendet.

Ziel dieses Tutorials

In diesem Tutorial werden sehr spezifische Fragen beantwortet, die nach dem Ausführen eines linearen Modells (in unserem Fall eine einfaktorielle ANOVA) mithilfe einer Vergleichsanalyse auftreten. Beispielsweise stellt sich die Frage, ob ein Düngemittel den Ertrag von Kornfeldern signifikant um das Zwei- oder Dreifache erhöhen kann. Zudem kann getestet werden, ob der Unterschied zwischen zwei bestimmten Gruppen von Mittelwerten signifikant ist. (Ist der durchschnittliche Ertrag mit den drei Düngemitteln im Vergleich zum Kontrollertrag signifikant höher?) Diese Fragen können mithilfe einer Vergleichsanalyse beantwortet werden. Im eigentlichen Sinne ist ein Vergleich die gewichtete Summe der Koeffizienten eines linearen Modells. Der Unterschied zwischen dieser Summe und Null wird getestet.

Einige vorbereitenden Schritte

Vor der Veranschaulichung des Konzepts von Vergleichen und vor der Analyse wird dringend empfohlen, die Bezeichnungen der linearen Modellkoeffizienten wie von XLSTAT bereitgestellt zu extrahieren (in unserem Fall eine einfaktorielle ANOVA). Diese Bezeichnungen können der Ergebnistabelle einer klassischen ANOVA-Analyse in XLSTAT einfach entnommen werden. Wählen Sie den Befehl XLSTAT/Modellierung der Daten/ANOVA aus, oder klicken Sie auf der Symbolleiste Modellierung der Daten auf die entsprechende Schaltfläche. Dieses Tutorial unterstützt Sie beim Starten der Analyse. Konfiguration: abhängige Variable = Yield (Ertrag); erklärende Variable = Fertilizer (Düngemittel).

Sehen Sie sich in der Ergebnistabelle die Tabelle mit den Modellparametern an.

Die erste Spalte (Quelle) enthält die Bezeichnung der Modellkoeffizienten gemäß XLSTAT. In der zweiten Spalte (Wert) sind die Koeffizienten der folgenden Modellgleichung enthalten, die die erklärende Variable (Faktor "Düngemittel") zur abhängigen Variable (Ertrag) in Beziehung setzt. Standardmäßig verwendet XLSTAT den Mittelwert des ersten Niveaus (in alphanumerischer Reihenfolge) des untersuchten Faktors als Referenzniveau (Achsenabschnitt). In unserem Beispiel entspricht dieses Niveau der Kontrollgruppe (Control). Die Effekte werden als Abweichungen zwischen den anderen Mittelwerten und dem Mittelwert des Referenzniveaus berechnet. Beispielsweise liegt die Abweichung zwischen P und dem Kontrollertrag bei 26,90. Der Wert unterscheidet sich signifikant von Null, bei einem Risiko von alfa = 0,05 (P-Wert < 0,0001).

Beachten Sie, dass die Art der Effektberechnung in XLSTAT über ANOVA/Registerkarte "Optionen"/Beschränkungen geändert werden kann. Bei einer Beschränkung von an=0 wird der letzte Wert (in unserem Beispiel P) als Referenz verwendet. Bei einer Beschränkung von A sum(ai)=0 werden die Unterschiede zwischen allen Werten und dem allgemeinen Mittelwert der Daten berechnet. Bei der weniger häufig verwendeten Beschränkung sum(ni.ai)=0 können zusätzlich Gruppengrößen berücksichtigt werden.

Vergleichsanalyse, ein konzeptioneller Ansatz

Um zu testen, ob ein Koeffizient signifikant von Null abweicht, werden alle anderen Koeffizienten in der Modellgleichung auf Null gesetzt. Dann wird der resultierende Wert mit Null verglichen.

Wenn beispielsweise der FertilizerN-Koeffizient untersucht werden soll, lautet die Modellgleichung wie folgt:

0 x Intercept + 0 x FertilizerC + 0 x FertilizerK + FertilizerN + 0 x FertilizerP (1)

= FertilizerN

= 67,038

Dieser Wert wird gegen Null getestet und ist in unserem Beispiel signifikant (P-Wert < 0,0001).

Betrachten Sie Gleichung (1), und multiplizieren Sie FertilizerN mit 1:

0 x Intercept + 0 x FertilizerC + 0 x FertilizerK + 1 x FertilizerN + 0 x FertilizerP (1)

Ein Vergleich ist die Kombination der Zahlen, mit denen jeder Koeffizient in einem bestimmten Test multipliziert wird. Wir bezeichnen für dieses Beispiel den Vergleich mit Cont1 und können ihn folgendermaßen beschreiben:

Cont1: 0 0 0 1 0

Der den FertilizerP-Koeffizienten testenden Vergleich kann wie folgt definiert werden:

Cont2: 0 0 0 0 1

Ein Vergleich zum Testen kann definiert werden, wenn der Gesamtertrag der mit K gedüngten Felder signifikant von Null abweicht. Daher wird die Summe des Referenzwerts (Achsenabschnitt) und die durch Düngemittel K erklärte Abweichung (FertilizerK-Koeffizient) berechnet und getestet, ob diese Summe sich signifikant von Null unterscheidet. Der Vergleich wird wir folgt geschrieben:

Cont3: 1 0 1 0 0

Es stellt sich die Frage, ob die Ertragsverbesserung durch Düngemittel N mindestens doppelt so hoch ist wie die durch Düngemittel P erzielte Verbesserung. Dies wird durch einen positiven und signifikanten FertilizerN – 2 x FertilizerK-Unterschied deutlich. Der folgende Vergleich setzt diesen Unterschied um:

Cont4: 0 0 0 1 -2

Außerdem ist von Interesse, wie die durchschnittliche Ertragsverbesserung durch die drei Düngemittel (K, N und P) im Vergleich zur Kontrollgruppe aussieht. Diese Frage kann beantwortet werden, indem die durchschnittlichen Abweichungen zwischen den Düngemitteln berechnet werden und die Signifikanz getestet wird. Dieser Mittelwert wird folgendermaßen berechnet:

(FertilizerK + FertilizerN + FertilizerP)/3 = 0,33 x FertilizerK + 0,33 x FertilizerN + 0,33 x FertilizerP

Der Äquivalenzvergleich:

Cont5: 0 0 0,33 0,33 0,33

Schließlich stellt sich die Frage, ob der Ertrag durch Düngemittel N mindestens doppel so hoch liegt wie der Kontrollertrag. Hierbei wird beim Testen überprüft, ob der Wert, der durch den Unterschied zwischen dem durchschnittlichen Ertrag der mit N gedüngten Felder und dem doppelten durchschnittlichen Ertrag der Kontrollfelder positiv und signifikant ist. Mithilfe von Modellkoeffizienten wird dies wie folgt umgesetzt:

Mittelwert(N-gedüngte Felder) – 2 x Mittelwert(Kontrollfelder)

= Intercept + FertilizerN – 2 x (Intercept + FertilizerControl)

= FertilizerN – Intercept

Der Äquivalenzvergleich:

Cont6: -1 0 0 1 0

Anweisungen für XLSTAT

Kopieren Sie in der ANOVA-Ergebnistabelle die Spalten mit den Bezeichnungen der Koeffizienten, und fügen Sie diese in das Datenblatt ein. Dieser Schritt ist nicht obligatorisch. Die Definition von Vergleichen wird jedoch erleichtert.

Schreiben Sie die gewünschten Vergleiche in die Spalte neben den Koeffizienten (eine Spalte pro Vergleich). In diesem Tutorial werden die oben definierten 6 Vergleiche betrachtet.

Beziehen Sie zur besseren Lesbarkeit die Bezeichnungen über den Vergleichsspalten mit ein.

Konfigurieren Sie die ANOVA-Analyse wie oben beschrieben, und fügen Sie unter der Registerkarte Ausgabe/Kontraste weitere Optionen hinzu: Aktivieren Sie das Kontrollkästchen "Kontraste berechnen", und wählen Sie die Kontrastmatrix einschließlich Spaltenbezeichnung, jedoch ohne Koeffizienten aus. Klicken Sie auf die Schaltfläche "OK".

Die Tabelle mit der Analyse der Kontraste wird am Ende der Ergebnistabelle angezeigt.

Jeder Kontrast wird durch einen Wert definiert, der der getesteten Menge entspricht, die in der Kontrastgleichung berechnet wurde. Für diese Menge wird ein Standardfehler und eine Unter- und Obergrenze mit einem Konfidenzintervall von 95 % angegeben. Schließlich wir ein t-Wert einem P-Wert zugeordnet, um zu testen, ob die Menge sich signifikant von Null unterscheidet.

Im Folgenden finden Sie eine Zusammenfassung der im obigen Abschnitt gestellten Fragen sowie die Antworten der Vergleichsanalyse:

Cont1: Ist die Abweichung zwischen Düngemittel N und der Kontrollgruppe bei alpha = 0,05 signifikant?

Antwort: ja (P-wert < 0,0001).

Cont2: Ist die Abweichung zwischen Düngemittel P und der Kontrollgruppe bei alpha = 0,05 signifikant?

Antwort: ja (P-wert < 0,0001).

Cont3: Wie hoch liegt der Mittelwert für den Ertrag der mit K gedüngten Felder? Unterscheidet sich dieser Ertrag bei alpha = 0,05 signifikant von Null?

Antwort: Mittelwert für den Ertrag = 73,938, signifikanter Unterschied von Null (P-Wert < 0,0001).

Cont4: Ist die Ertragsverbesserung durch N mindestens doppelt so hoch wie die Verbesserung durch P bei alpha = 0,05?

Antwort: ja, denn die resultierenden Vergleichswerte sind positiv (+13,238) und signifikant (P-Wert <0,05).

Cont5: Wie sieht die durchschnittliche Ertragsverbesserung durch die drei Düngemittel (K, N und P) im Vergleich zur Kontrollgruppe aus? Ist diese Verbesserung bei alpha = 0,05 signifikant?

Antwort: Verbesserung = 30,958, signifikanter Unterschied von Null (P-Wert < 0,0001).

Cont6: Verdoppelt Düngemittel N den Gesamtertrag im Vergleich zur Kontrollgruppe bei alpha = 0,05?

Antwort: Der Unterschied zwischen dem Ertrag der mit N gedüngten Felder und der doppelte Ertrag der Kontrollgruppe ist nicht signifikant (P-Wert > 0,05).

Weitere Funktionen

Vergleiche können für lineare Modelle unterschiedlicher Komplexität definiert werden (z. B. Multilevel-ANOVA mit Interaktionen, ANCOVA usw.). In den Modellen sind quantitative erklärende Variablen enthalten. Es ist daher möglich, die Koeffizienten entsprechend der Steigungen oder der Steigungsabweichungen zu manipulieren.